ベビーシッター、家事代行

ご質問のケースでは、ご質問者様が家事等のサービスを利用者から直接請け負い、それを自社で雇用する従業員へ作業させたに過ぎませんので
派遣業ではなく請負業に該当するものと思われます。
したがって、この場合は開業に当たり派遣業の認可は不要になるかと思います。

ただ、偽装請負と指摘されないように自社でサービス内容やメニュー表を明記して利用者に認知させておくことが必要になりますのでご注意下さい。
(あくまで従業員は御社の指揮系統の下で作業する。)

以上、ご参考下さい。

その従業員は個人事業主として扱われるのですか？

雇用関係にある従業員様は個人事業主ではございません。

御社から従業員様に支払われるのは給与となりますので、給与所得として扱われます。
従業員様は御社で年末調整をするか、個人で確定申告することになります。

派遣業ではなく請負業としてやり、働く人を雇用しないといけないのですか？
好きな時間、曜日で働いてもらい、やってもらったらそれに合わせて報酬となるのですが、委託業務みたいな感じで各々個人事業主とすることはできないということですか？

派遣業や請負業として同事業を行う場合は、いずれも自社で雇用する従業員を利用者宅へ派遣します。

ご検討されているような各個人事業主と委託業務を個別契約して外注費処理することは可能です。
但し、税務上も外注費として扱われる実態と契約内容を整備しておかないと給与認定されてしまうリスクがございますのでご注意下さい。

余談ではございますが、ご質問者様のように自社で雇用せずに家事代行等をやりたい方と利用者とを結びつける事業は、仲介業として展開される方が多いと思いますのでご参考下さい。